Coza o pato, a cenoura e o chouriço (sem pele) numa panela com água durante cerca de 45 minutos. De seguida, desfie o pato (sem aproveitar a pele e os ossos), corte o chouriço em cubos e a cenoura em rodelas.
Leve um tacho a lume brando, e coloque metade do azeite, duas cebolas e alho picados finamente, deixando refogar durante uns minutos. Quando tudo estiver bem dourado, retire do lume e junte o pato, o chouriço e um pouco da água de cozedura do pato. Misture bem e reserve.
Deite 8dl do caldo de cozer o pato num tacho e junte 4 dl de água. Deixe que tudo aqueça bem.
Deite num tacho a cebola que faltava, finamente picada, junte o resto do azeite e refogue até a cebola dourar. Adicione o arroz e envolva-o durante 5 minutos, mexendo para não queimar. Adicione o caldo que aqueceu no ponto 3 e retifique os temperos, se necessário. Deixe cozinhar durante 10 minutos.
Desligue o lume e deixe o arroz repousar alguns minutos tapado. Depois, passe um garfo para soltar o arroz, juntando mais água de cozedura se for necessário humedecer mais o arroz.
Ligue o forno a 210 graus. Deite metade do arroz na travessa ou tabuleiro de barro, seguido do pato desfiado e do chouriço. Cubra com o restante arroz e pincele com o ovo, previamente batido com um pouco de água. Disponha as rodelas de cenoura por cima, para decoração.
Leve o arroz ao forno durante 10 minutos. Sirva com a salsa cortada finamente e polvilhada por cima do arroz.